Коли ми з'ясовували геометричний сенс певного інтеграла, у нас вийшла формула, за допомогою якої можна знайти площу криволінійної трапеції, обмеженою віссю абсцис, прямими x \u003d a, x \u003d b, А також безперервної (неотрицательной або непозитивно) функцією y \u003d f (x).Іноді зручніше задавати функцію, що обмежує фігуру, в параметричному вигляді, тобто висловлювати функціональну залежність через параметр t. В рамках даного матеріалу ми покажемо, як можна знайти площу фігури, якщо вона обмежена параметрически заданої кривої.
Після пояснення теорії і виведення формули ми розберемо кілька характерних прикладів на знаходження площі таких фігур.
Основна формула для обчислення
Припустимо, що у нас є криволінійна трапеція, межами якої є прямі x \u003d a, x \u003d b, вісь O x і параметрически задана крива x \u003d φ (t) y \u003d ψ (t), а функції x \u003d φ (t) і y \u003d ψ (t) є безперервними на інтервалі α; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .
визначення 1
Щоб обчислити площу трапеції при таких умовах, потрібно використовувати формулу S (G) \u003d ∫ α β ψ (t) · φ "(t) d t.
Ми вивели її з формули площі криволінійної трапеції S (G) \u003d ∫ a b f (x) d x методом підстановки x \u003d φ (t) y \u003d ψ (t):
S (G) \u003d ∫ a b f (x) d x \u003d ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) \u003d ∫ α β ψ (t) · φ "(t) d t
визначення 2
З огляду на монотонне спадання функції x \u003d φ (t) на інтервалі β; α, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .
Якщо функція x \u003d φ (t) не відноситься до основних елементарним, то нам знадобиться згадати основні правила зростання та спадання функції на інтервалі, щоб визначити, чи буде вона зростаючої чи спадаючої.
У цьому пункті ми розберемо кілька завдань на застосування формули, виведеної вище.
приклад 1
Умова: Знайдіть площа фігури, яку утворює лінія, задана рівняннями виду x \u003d 2 cos t y \u003d 3 sin t.
Рішення
У нас є параметрично задана лінія. Графічно її можна відобразити у вигляді еліпса з двома півосями 2 і 3. Див на ілюстрацію:
Спробуємо знайти площу 1 4 отриманої фігури, яка займає перший квадрант. Область знаходиться в інтервалі x ∈ a; b \u003d 0; 2. Далі помножимо отримане значення на 4 і знайдемо площу цілої фігури.
Ось хід наших обчислень:
x \u003d φ (t) \u003d 2 cos ty \u003d ψ (t) \u003d 3 sin t φ α \u003d a ⇔ 2 cos α \u003d 0 ⇔ α \u003d π 2 + πk, k ∈ Z, φ β \u003d b ⇔ 2 cos β \u003d 2 ⇔ β \u003d 2 πk, k ∈ Z
При k, що дорівнює 0, ми отримаємо інтервал β; α \u003d 0; π 2. Функція x \u003d φ (t) \u003d 2 cos t на ньому буде монотонно спадати (докладніше див. Статтю про основні елементарних функціях і їх властивості). Значить, можна застосувати формулу обчислення площі і знайти певний інтеграл, використовуючи формулу Ньютона-Лейбніца:
- ∫ 0 π 2 3 sin t · 2 cos t "dt \u003d 6 ∫ 0 π 2 sin 2 tdt \u003d 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) dt \u003d \u003d 3 · t - sin (2 t) 2 0 π 2 \u003d 3 · π 2 - sin 2 · π 2 2 - 0 - sin 2 · 0 2 \u003d 3 π 2
Значить, площа фігури, заданої вихідної кривої, буде дорівнює S (G) \u003d 4 · 3 π 2 \u003d 6 π.
Відповідь: S (G) \u003d 6 π
Уточнимо, що під час вирішення завдання вище можна було взяти не тільки чверть еліпса, а й його половину - верхню чи нижню. Одна половина буде розташована на інтервалі x ∈ a; b \u003d - 2; 2. В цьому випадку у нас би вийшло:
φ (α) \u003d a ⇔ 2 cos α \u003d - 2 ⇔ α \u003d π + π k, k ∈ Z, φ (β) \u003d b ⇔ 2 cos β \u003d 2 ⇔ β \u003d 2 π k, k ∈ Z
Таким чином, при k рівному 0, ми отримали β; α \u003d 0; π. Функція x \u003d φ (t) \u003d 2 cos t на цьому інтервалі буде монотонно спадати.
Після цього обчислюємо площу половини еліпса:
- ∫ 0 π 3 sin t · 2 cos t "dt \u003d 6 ∫ 0 π sin 2 tdt \u003d 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) dt \u003d \u003d 3 · t - sin (2 t) 2 0 π \u003d 3 · π - sin 2 · π 2 - 0 - sin 2 · 0 2 \u003d 3 π
Важливо відзначити, що можна взяти тільки верхню чи нижню частину, а праву або ліву можна.
Можна скласти параметричне рівняння даного еліпса, центр якого буде розташований на початку координат. Воно буде мати вигляд x \u003d a · cos t y \u003d b · sin t. Діючи так само, як і в прикладі вище, отримаємо формулу для обчислення площі еліпса S е л і п з а \u003d πab.
Задати окружність, центр якої розташований на початку координат, можна за допомогою рівняння x \u003d R · cos t y \u003d R · sin t, де t є параметром, а R - радіусом даної окружності. Якщо ми відразу скористаємося формулою площі еліпса, то то у нас вийде формула, за допомогою якої можна обчислити площу круга з радіусом R: S до р у г а \u003d πR 2.
Розберемо ще одну задачу.
приклад 2
Умова: знайдіть, чому буде дорівнює площа фігури, яка обмежена параметрически заданої кривої x \u003d 3 cos 3 t y \u003d 2 sin 3 t.
Рішення
Відразу уточнимо, що дана крива має вигляд витягнутої астроїди. Зазвичай астроїда виражається за допомогою рівняння виду x \u003d a · cos 3 t y \u003d a · sin 3 t.
Тепер розберемо детально, як побудувати таку криву. Виконаємо побудову по окремих точках. Це найпоширеніший метод, який можна застосовувати для більшості завдань. Більш складні приклади вимагають проведення диференціального обчислення, щоб виявити параметрически задану функцію.
У нас x \u003d φ (t) \u003d 3 cos 3 t, y \u003d ψ (t) \u003d 2 sin 3 t.
Дані функції є певними для всіх дійсних значень t. Для sin і cos відомо, що вони є періодичними і їх період становить 2 пі. Зрозумівши значення функцій x \u003d φ (t) \u003d 3 cos 3 t, y \u003d ψ (t) \u003d 2 sin 3 t для деяких t \u003d t 0 ∈ 0; 2 π π 8, π 4, 3 π 8, π 2,. . . , 15 π 8, отримаємо точки x 0; y 0 \u003d (φ (t 0); ψ (t 0)).
Складемо таблицю підсумкових значень:
| t 0 | 0 | π 8 | π 4 | 3 π 8 | π 2 | 5 π 8 | 3 π 4 | 7 π 8 | π |
| x 0 \u003d φ (t 0) | 3 | 2 . 36 | 1 . 06 | 0 . 16 | 0 | - 0 . 16 | - 1 . 06 | - 2 . 36 | - 3 |
| y 0 \u003d ψ (t 0) | 0 | 0 . 11 | 0 . 70 | 1 . 57 | 2 | 1 . 57 | 0 . 70 | 0 . 11 | 0 |
| t 0 | 9 π 8 | 5 π 4 | 11 π 8 | 3 π 2 | 13 π 8 | 7 π 4 | 15 π 8 | 2 π |
| x 0 \u003d φ (t 0) | - 2 . 36 | - 1 . 06 | - 0 . 16 | 0 | 0 . 16 | 1 . 06 | 2 . 36 | 3 |
| y 0 \u003d ψ (t 0) | - 0 . 11 | - 0 . 70 | - 1 . 57 | - 2 | - 1 . 57 | - 0 . 70 | - 0 . 11 | 0 |
Після цього відзначимо потрібні точки на площині і з'єднаємо їх однією лінією.
Тепер нам треба знайти площу тієї частини фігури, що знаходиться в першій координатної чверті. Для неї x ∈ a; b \u003d 0; 3:
φ (α) \u003d a ⇔ 3 cos 3 t \u003d 0 ⇔ α \u003d π 2 + πk, k ∈ Z, φ (β) \u003d b ⇔ 3 cos 3 t \u003d 3 ⇔ β \u003d 2 πk, k ∈ Z
Якщо k дорівнює 0, то у нас вийде інтервал β; α \u003d 0; π 2, і функція x \u003d φ (t) \u003d 3 cos 3 t на ньому буде монотонно спадати. Тепер беремо формулу площі і вважаємо:
- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t · 3 cos 3 t "dt \u003d 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · cos 2 tdt \u003d \u003d 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · (1 - sin 2 t) dt \u003d 18 ∫ 0 π 2 sin 4 tdt - ∫ 0 π 2 sin 6 tdt
У нас вийшли певні інтеграли, які можна обчислити за допомогою формули Ньютона-Лейбніца. Первісні для цієї формули можна знайти, використовуючи рекуррентную формулу J n (x) \u003d - cos x · sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x), де J n (x) \u003d ∫ sin nxdx.
∫ sin 4 tdt \u003d - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 tdt \u003d \u003d - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 - cos t · sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 tdt \u003d \u003d - cos t · sin 3 t 4 - 3 cos t · sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 tdt \u003d - cos t · sin 3 t 4 - 3 cos t · sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 \u003d 3 π 16 ∫ sin 6 tdt \u003d - cos t · sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 tdt ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 tdt \u003d - cos t · sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 π 2 sin 4 tdt \u003d 5 6 ∙ 3 π 16 \u003d 15 π 96
Ми вирахували площа чверті фігури. Вона дорівнює 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t \u003d 18 3 π 16 - 15 π 96 \u003d 9 π 16.
Якщо ми помножимо це значення на 4, отримаємо площу всієї фігури - 9 π 4.
Точно таким же чином ми можемо довести, що площа астроїди, заданої рівняннями x \u003d a · cos 3 ty \u003d a · sin 3 t, можна знайти за формулою S а з т р про і д и \u003d 3 πa 2 8, а площа фігури , яка обмежена лінією x \u003d a · cos 3 ty \u003d b · sin 3 t, обчислюється за формулою S \u003d 3 πab 8.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter
Вітаю вас, шановні студенти вузу аргемони!
Ще трохи - і курс буде закінчений, а зараз ми займемося ось чим.
Чжоулі трохи змахнула рукою - і в повітрі виявилася постать. А точніше, це була прямокутна трапеція. Вона просто висіла в повітрі, створена магічною енергією, яка текла по її сторонам, а також клубилася всередині самої трапеції, від чого та вся виблискувала і переливалася.
Потім викладач ледь помітно зробила круговий рух пальцями руки - і трапеція почала обертатися навколо невидимої осі. Спочатку повільно, потім все швидше і швидше - так, що в повітрі виразно стала проступати об'ємна фігура. Здавалося, що магічна енергія розтікалася по ній.
Далі сталося наступне: блискучі контури фігури і її нутро стали заповнюватися якоюсь речовиною, світіння ставало все менш помітним, зате сама фігура все більше була схожа на щось відчутне. Крупинки матеріалу рівномірно розподілялися по фігурі. І ось все закінчилося: і обертання, і світіння. У повітрі висів предмет, схожий на воронку. Чжоулі акуратно перемістила його на стіл.
Ну ось. Приблизно так можна матеріалізувати багато предметів - шляхом обертання якихось плоских фігур навколо уявних прямих. Звичайно, для матеріалізації потрібно певну кількість речовини, яке заповнить собою весь утворюється і тимчасово утримується за допомогою магічної енергії обсяг. А ось для того, щоб точно підрахувати, скільки речовини треба, - і потрібно знати обсяг одержуваного тіла. Інакше, якщо речовини буде мало, то воно не заповнить собою весь обсяг і тіло може вийти неміцним, з вадами. А матеріалізувати і ще утримувати великий надлишок речовини - це непотрібні витрати магічної енергії.
Ну а якщо у нас обмежена кількість речовини? Тоді, вміючи обчислювати об'єми тіл, можна прикинути, яке за розмірами тіло ми можемо зробити без особливих витрат магічної енергії.
Щодо надлишків залученого матеріалу є ще й інша думка. Куди надлишки речовини діваються? Обсипаються, будучи не задіяними? Або налипають на тіло як попало?
Загалом, тут ще є над чим подумати. Якщо раптом у вас якісь думки з'явилися, то із задоволенням їх вислухаю. А поки перейдемо до обчислення обсягів тіл, отриманих таким способом.
Тут розглядається кілька випадків.
Випадок 1.
Область, яку ми будемо обертати, являє собою саму класичну криволинейную трапецію.
Природно, що вирощують її ми можемо тільки навколо осі ОХ. Якщо ж цю трапецію зрушити вправо по горизонталі так, щоб вона не перетинала вісь OY, то її можна обертати і щодо цієї осі. Заклинальні формули для обох випадків такі:
Ми з вами вже досить добре освоїли основні магічні дії на функції, тому для вас, думаю, не важко буде при необхідності пересунути фігуру так в координатних осях, щоб вона розташовувалася зручно для роботи з нею.
Випадок 2.
Можна обертати не тільки класичну криволинейную трапецію, а й фігуру ось такого виду:
При обертанні ми отримаємо своєрідне кільце. А пересунувши фігуру в позитивну область, ми можемо її вирощують і щодо осі OY. Теж отримаємо кільце чи ні. Все залежить від того, як буде розташовуватися фігура: якщо її ліва межа пройде точно по осі OY, то кільця не вийде. Розрахувати обсяги таких тіл обертання можна, використовуючи такі заклинання:
Випадок 3.
Згадаймо, що у нас є чудові криві, але задающиеся не звичним нам способом, а в параметричному вигляді. Такі криві часто замкнуті. Параметр t повинен змінюватися таким чином, щоб замкнута фігура при обході її по кривій (кордоні) залишалася зліва.
Тоді для обчислення обсягів тіл обертання щодо осі ОХ або OY треба використовувати ось такі заклинання:
Ці ж формули можна використовувати і для випадку незамкнутих кривих: коли обидва кінці лежать на осі ОХ або на осі OY. Фігура-то по-любому виходить замкнутої: кінці замикає відрізок осі.
Випадок 4.
Частина чудових кривих у нас задаються полярними координатами (r \u003d r (fi)). І тоді фігуру можна обертати щодо полярної осі. В цьому випадку декартова система координат поєднується з полярної і годиться
x \u003d r (fi) * cos (fi)
y \u003d r (fi) * sin (fi)
Таким чином, ми приходимо до параметричного виду кривої, де параметр fi повинен змінюватися так, щоб при обході кривої область залишалася зліва.
І користуємося заклинальних формулами з нагоди 3.
Однак, для випадку полярних координат є і своя заклинальні формула:
Звичайно, плоскі фігури можна обертати і щодо будь-яких інших прямих, не тільки щодо осей OX та OY, але ці маніпуляції вже більш складні, тому ми обмежимося тими випадками, що були розглянуті в лекції.
А зараз домашнє завдання. Я не буду вам давати конкретні фігури. Ми вже вивчили багато функцій, і мені хочеться, щоб ви самі щось таке сконструювали, що вам може знадобиться в магічній практиці. Думаю, чотирьох прикладів на всі зазначені в лекції випадки буде досить.
Знайдемо обсяг тіла, породженого обертанням арки циклоїди навколо її заснування. Роберваль знаходив його, розбивши отримане яйцеподібний тіло (рис. 5.1) на нескінченно тонкі шари, вписавши в ці шари циліндрики і склавши їх обсяги. Доказ вийшло довге, виснажливе і недостатньо суворе. Тому для його обчислення звернемося до вищої математики. Задамо рівняння циклоїди параметрически.
В інтегральному численні при вивченні обсягів користується таким зауваженням:
Якщо крива, що обмежує криволінійну трапецію задана параметричними рівняннями і функції в цих рівняннях задовольняють умовам теореми про заміну змінної в певному інтегралі, то об'єм тіла обертання трапеції навколо осі Ох, буде обчислюватися за формулою:
Скористаємося цією формулою для знаходження потрібного нам обсягу.
Таким же чином обчислимо і поверхня цього тіла.
L \u003d ((x, y): x \u003d a (t - sin t), y \u003d a (1 - cost), 0? T? 2р)
В інтегральному численні існує наступна формула для знаходження площі поверхні тіла обертання навколо осі х кривої, заданої на відрізку параметрически (t 0? T? T 1):
Застосовуючи цю формулу для нашого рівняння циклоїди отримуємо:
Розглянемо також іншу поверхню, породжену обертанням арки циклоїди. Для цього побудуємо дзеркальне відображення арки циклоїди щодо її заснування, і овальну фігуру, утворену циклоїдою і її відображенням будемо обертати навколо осі KT (рис. 5.2)
Спочатку знайдемо обсяг тіла, утвореного обертанням арки циклоїди навколо осі KT. Його обсяг будемо обчислювати за формулою (*):
Таким чином, ми порахували обсяг половини даного репообразного тіла. Тоді весь обсяг буде дорівнює
На уроках про рівнянні прямої на площині і рівняннях прямої в просторі.
Зустрічайте стару знайому:
Криволінійну трапецію гордо вінчає графік, і, як ви знаєте, її площа розраховується за допомогою певного інтеграла по елементарної формулою або, якщо коротше:.
Розглянемо ситуацію, коли ця ж функція задана в параметричному вигляді.
Як знайти площу в цьому випадку?
при деякому цілком конкретному значенні параметра параметричні рівняння будуть визначати координати точки, а при іншому цілком конкретному значенні - координати точки. Коли «ТЕ» змінюється від до включно, параметричні рівняння якраз і «прорисовують» криву. Думаю, на рахунок меж інтегрування стало все зрозуміло. Тепер в інтеграл замість «Ікси» і «Ігрек» підставляємо функції і розкриваємо диференціал:
Примітка : Мається на увазі, що функції безперервні на проміжку інтегрування і, крім того, функція монотонна на ньому.
Формула об'єму тіла обертання виходить так само просто:
Обсяг тіла, одержуваного обертанням криволінійної трапеції навколо осі, розраховується за формулою 
або:. Підставляємо в неї параметричні функції, а також межі інтегрування:
Будь ласка, занесіть обидві робочі формули в свій довідник.
За моїми спостереженнями, завдання на знаходження об'єму зустрічаються досить рідко, і тому значна частина прикладів даного уроку буде присвячена знаходженню площі. Чи не відкладаємо справу в довгий ящик:
приклад 1
Обчислити площу криволінійної трапеції 
, якщо
Рішення: Використовуємо формулу 
.
Класична задача по темі, яка розбирається завжди і всюди:
приклад 2
Обчислити площу еліпса
Рішення: Для визначеності вважаємо, що параметричні рівняння задають канонічний еліпс з центром на початку координат, велика піввісь «а» і малої півосі «бе». Тобто, за умовою нам запропоновано не що інше, як
знайти площу еліпса
Очевидно, що параметричні функції періодичні, і. Здавалося б, можна заряджати формулу, однак не все так прозоро. з'ясуємо напрямок, В якому параметричні рівняння «викреслюють» еліпс. Як орієнтир знайдемо кілька точок, які відповідають найбільш простим значенням параметра: 
Легко вловити, що при зміні параметра «ТЕ» від нуля до «двох пі» параметричні рівняння «викреслюють» еліпс проти годинникової стрілки:
В силу симетричності фігури, обчислимо частина площі в 1-й координатної чверті, а результат помножимо на 4. Тут ми спостерігаємо принципово таку ж картину, яку я коментував трохи вище: параметричні рівняння «прорисовують» дугу еліпса «в протихід» осі, але площа фігури вважається зліва направо! Тому нижньому межі інтегрування відповідає значення, а верхньому межі - значення.
Як я вже радив на уроці Площа в полярних координатах, Почетверити результат краще одразу ж:
Інтеграл (якщо у кого-то раптом виявився такий неймовірний пробіл) розібраний на уроці Інтеграли від тригонометричних функцій.
відповідь:
По суті, ми вивели формулу для знаходження площі еліпса. І якщо на практиці вам зустрінеться завдання з конкретними значеннями «а» і «бе», то ви легко зможете виконати звірку / перевірку, оскільки задача вирішена в загальному вигляді.
Площа еліпса розраховується і в прямокутних координатах, для цього з рівняння необхідно висловити «ігрек» і вирішити задачу точь-в-точь за зразком Прімера №4 статті Ефективні методи вирішення певних інтегралів. Обов'язково подивіться на цей приклад і порівняйте, наскільки простіше обчислити площу еліпса, якщо він заданий параметрично.
І, звичайно ж, мало не забув, параметричні рівняння можуть задавати окружність або еліпс в неканонічному положенні.
приклад 3
Обчислити площу однієї арки циклоїди 
Щоб вирішити задачу, потрібно знати, що таке циклоїда або хоча б чисто формально виконати креслення. Зразок оформлення в кінці уроку. Втім, не буду вас відправляти за тридев'ять земель, на графік цієї лінії можна подивитися в наступної задачі:
приклад 4
Рішення: Параметричні рівняння 
задають циклоиду, і обмеження вказує на той факт, що мова йде про її першій арці, Яка «промальовується», коли значення параметра змінюється в межах. Зауважте, що тут «правильний» напрям цієї «промальовування» (зліва направо), а значить, не виникне проблем з межами інтегрування. Але зате з'явиться купа інших прикольних речей \u003d) Рівняння задає пряму, Паралельну осі абсцис і додаткову умову (Див. лінійні нерівності)
повідомляє нам про те, що потрібно обчислити площу наступній фігури: 
Шукану заштрихованную фігуру я буду асоціативно називати «дахом будинку», прямокутник - «стіною будинку», а всю конструкцію (стіна + дах) - «фасадом будинку». Хоча ця споруда більше нагадує якийсь корівник \u003d)
Щоб знайти площу «даху» необхідно з площі «фасаду» відняти площу «стіни».
Спочатку займемося «фасадом». Для знаходження його площі потрібно з'ясувати значення, які задають точки перетину прямої з першої аркою циклоїди (точки і). У параметричне рівняння підставимо:
Тригонометричне рівняння легко вирішити, банально глянувши на графік косинуса: На проміжку рівності задовольняють два кореня:. В принципі, все зрозуміло, але, тим не менш, перестрахуемся і підставимо їх у рівняння:
- це «іксів» координата точки;
- а це «іксів» координата точки.
Таким чином, ми переконалися в тому, що значення параметра відповідає точці, а значення - точці.
Обчислимо площу «фасаду». Для більш компактного запису функція часто диференціюється прямо під інтегралом: 
Площа «стіни» можна обчислити «шкільним» методом, перемноживши довжини суміжних сторін прямокутника. Довжина очевидна, залишилося знайти. Вона розраховується як різниця «іксів» координат точок «це» і «бе» (знайдені раніше):
Площа «стіни»:
Зрозуміло, її не соромно знайти і за допомогою найпростішого визначеного інтеграла від функції на відрізку:
В результаті, площа «даху»:
відповідь: 
І, звичайно ж, при наявності креслення прикидаємо по клітинках, схожий чи отриманий результат на правду. Схожий.
Наступне завдання для самостійного рішення:
приклад 5
Обчислити площу фігури, обмеженої лініями, заданими рівняннями 
Коротко систематизуємо алгоритм рішення:
- У більшості випадків доведеться виконати креслення і визначити фігуру, площа якої потрібно знайти.
- На другому етапі слід зрозуміти, яким чином розраховується шукана площа: це може бути одиночна криволинейная трапеція, може бути різниця площ, може бути сума площ - коротше кажучи, все ті фішки, які ми розглядали на уроці.
- На третьому кроці треба проаналізувати, чи доцільно користуватися симетрією фігури (якщо вона симетрична), після чого дізнатися межі інтегрування (початковий і кінцевий значення параметра). Зазвичай для цього необхідно вирішити найпростіше тригонометрическое рівняння - тут можна використовувати аналітичний метод, графічний метод або нехитрий підбір потрібних коренів по тригонометричної таблиці.
! Не забуваємо, Що параметричні рівняння можуть «промальовувати» лінію і справа наліво, в цьому випадку робимо відповідну обмовку і поправку в робочій формулі.
- І на завершальному етапі проводяться технічні обчислення. Правдоподібність отриманої відповіді завжди приємно оцінити за кресленням.
А зараз довгоочікувана зустріч з зіркою:
приклад 6
Обчислити площу фігури, обмеженої лініями, заданими рівняннями
Рішення: Крива, задана рівняннями є астроїда, і лінійне нерівність однозначно визначає заштрихованную на кресленні фігуру: 
Знайдемо значення параметра, які визначають точки перетину прямої і астроїди. Для цього підставимо в параметричне рівняння:
Способи вирішення подібного рівняння вже перераховані вище, зокрема, ці корені легко підбираються по тригонометричної таблиці.
Фігура симетрична щодо осі абсцис, тому обчислимо верхню половинку площі (синя штрихування), а результат подвоїмо.
Підставами значення в параметричне рівняння: 
В результаті отримана «ігрековая» координата верхній (потрібної нам) точки перетину астроїди і прямий.
Правою вершині астроїди, очевидно, відповідає значення. Виконаємо на всякий випадок перевірку: 
, Що і було потрібно перевірити.
Як і у випадку з еліпсом, параметричні рівняння «прорисовують» дугу астроїди справа наліво. Для різноманітності оформлю кінцівку другим способом: при зміні параметра в межах функція спадає, отже (не забуваємо подвоїти !!):
Інтеграл вийшов досить громіздкий, і щоб «не тягати все за собою» тут краще перервати рішення і перетворити підінтегральної функції окремо. стандартно знижуємо ступінь за допомогою тригонометричних формул:
Годиться, в останньому доданку підведемо функцію під знак диференціала:
відповідь:
Так, важкувато доводиться з зірками \u003d)
Наступне завдання для просунутих студентів:
приклад 7
Обчислити площу фігури, обмеженої лініями, заданими рівняннями
Для його вирішення буде досить матеріалів, які ми вже розглянули, але звичний шлях досить довгий, і зараз я розповім ще про один ефективний метод. Ідея насправді знайома з уроку Обчислення площі за допомогою визначеного інтеграла - це інтегрування по змінній «ігрек» і використання формули 
. Підставляючи в неї параметричні функції, одержуємо дзеркальну робочу формулу:
Дійсно, ну а чим вона гірша «стандартної»? У цьому полягає ще одна перевага параметричної форми - рівняння 
здатні виконувати роль не тільки «звичайної», але одночасно і зворотної функції.
В даному випадку мається на увазі, що функції безперервні на проміжку інтегрування і функція монотонна на ньому. Причому, якщо убуває на проміжку інтегрування (параметричні рівняння «прорисовують» графік «в протихід» (увага!!) осі), то слід по вже розглянутої технології переставити межі інтегрування або спочатку поставити «мінус» перед інтегралом.
Рішення і відповідь Прімера №7 в кінці уроку.
Заключний міні-розділ присвячений більш рідкісною задачі:
Як знайти об'єм тіла обертання,
якщо фігура обмежена параметрически заданої лінією?
Актуалізуємо формулу, виведену на початку уроку: 
. Загальна методика рішення точно така ж, як і при знаходженні площі. Висмикну нечисленні завдання зі своєї скарбнички.
Розглянемо приклади застосування отриманої формули, що дозволяє обчислювати площі фігур, обмежених параметрически заданими лініями.
Приклад.
Обчислити площу фігури, обмеженої лінією, параметричні рівняння якої мають вигляд.
Рішення.
У нашому прикладі параметрически задана лінія являє собою еліпс з півосями 2 і 3 одиниці. Побудуємо його.
Знайдемо площу чверті еліпса, розташованої в першому квадраті. Ця область лежить в інтервалі 
. Площа всієї фігури обчислимо, помноживши отримане значення на чотири.
Що ми маємо: 
для k \u003d 0 отримуємо інтервал 
. На цьому інтервалі функція 
монотонно спадна (дивіться розділ). Застосовуємо формулу для обчислення площі та визначений інтеграл знаходимо за формулою Ньютона-Лейбніца: 
Таким чином, площа вихідної фігури дорівнює 
.
Зауваження.
Виникає логічне запитання: чому ми брали чверть еліпса, а не половину? Можна було розглянути верхню (або нижню) половину фігури. Вона знаходиться на інтервалі 
. Для цього випадку ми б отримали
Тобто, для k \u003d 0 отримуємо інтервал. На цьому інтервалі функція монотонно спадна.
Тоді площа половини еліпса знаходиться як 
А ось праву або ліву половини еліпса взяти не вийде.
Параметричне представлення еліпса з центром на початку координат і півосями a і b має вигляд. Якщо діяти так само, як і в розібраному прикладі, то отримаємо формулу для обчислення площі еліпса .
Коло з центром на початку координат радіуса R через параметр t задається системою рівнянь. Якщо скористатися отриманою формулою площі еліпса, то відразу можна записати формулу для знаходження площі круга радіуса R:.
Вирішимо ще один приклад.
Приклад.
Обчислити площу фігури, обмеженої кривою, заданої параметрично.
Рішення.
Забігаючи трохи вперед, крива є «витягнутої» астроїда. (Астроіда має наступне параметричне представлення).
Зупинимося детальніше на побудові кривої, що обмежує фігуру. Будувати її ми будемо по точкам. Зазвичай такого побудови досить для вирішення більшості завдань. У більш складних випадках, безсумнівно, буде потрібно детальне дослідження параметрически заданої функції за допомогою диференціального обчислення.
У нашому прикладі.
Ці функції визначені для всіх дійсних значень параметра t, причому, з властивостей синуса і косинуса ми знаємо, що вони періодичні з періодом два пі. Таким чином, обчислюючи значення функцій для деяких 
(наприклад 
), Отримаємо набір точок 
.
Для зручності занесемо значення в таблицю: 
Відзначаємо точки на площині і ПОСЛІДОВНО з'єднуємо їх лінією.
Обчислимо площа області, розташованої в першій координатної чверті. Для цієї області 
.
при k \u003d 0 отримуємо інтервал 
, На якому функція 
монотонно убуває. Застосовуємо формулу для знаходження площі: 
Отримані певні інтеграли обчислимо за формулою Ньютона-Лейбніца, а первісні для формули Ньютона-Лейбніца знайдемо за допомогою рекурентної формули виду 
, де 
.
Отже, площа чверті фігури дорівнює 
, Тоді площа всієї фігури дорівнює.
Аналогічно можна показати, що площа астроїди знаходиться як 
, А площа фігури, обмеженої лінією, обчислюється за формулою.
Завантаження ...